Çember ve Daire

Noktalı kağıt üzerinde belirlediğimiz bir noktaya 3 br uzaklıkta olan noktaları işaretleyelim.

Elimize aldığımız pergeli 3 br açalım ve pergelin sivri ucunu ilk olarak işaretlediğimiz noktaya yerleştirerek saatin akrep veya yelkovanının hareket yönünün aynı veya tersi doğrultusunda hareket ettirelim.

Seçilen bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu şekle çember denir. Çemberin çizimi pergel yardımıyla yapılır. Çizim yapılırken, pergel saatin akrep veya yelkovanının hareket yönünün aynı veya tersi yönünde hareket ettirilerek çember çizilebilir. Çemberin çizim yönü kısaca “saat yönü” veya “saat yönünün tersi” olarak ifade edilir.

Tahtaya saplanmış bir çiviye bağlı ipin diğer ucuna bir kalem bağladığımızda kalemle çizilen çemberin noktalarının çiviye uzaklığının gergin tutulan ipin uzunluğu kadar olduğu görülmektedir. Bir başka deyişle çizdiğimiz çemberin üzerindeki noktaların sabit tutulan çividen eşit uzaklıkta olduğunu görmekteyiz.

Elimizde bulunan bir dosya kağıdına madeni para yardımıyla bir çember çizelim. Çizdiğimiz çemberi makasla keserek çıkartalım. Elde edilen çembersel bölgeyi iki eş bölge oluşacak şekilde katlayalım.

Katladığımız kağıdı açtığımızda oluşan kat çizgisini kalemle belirginleştirelim. Oluşan bu kat çizgisini de kendi üzerine katlayalım.

Katladığımız kağıdı açtığımızda oluşan ikinci kat çizgisini de kalemle belirginleştirelim. Belirginleştirdiğimiz bu kat çizgilerinin kesiştiği nokta oluşan çembersel bölgenin merkezidir.

Yukarıdaki çemberin O noktasına çemberin merkezi denir. Çemberin merkezi ile çember üzerindeki herhangi bir noktayı birleştiren doğru parçasına çemberin yarıçapı denir. |OK| = |OL| = |OM| = |OP| = r’dir. Çemberin merkezinden geçen ve çember üzerinde bulunan iki noktayı birleştiren doğru parçasına çemberin çapı denir. |LP| = |MK| = 2r’dir. Çember ve çemberin iç bölgesinin oluşturduğu alana daire denir.

Şekildeki bardağın üst kısmı açık olduğundan bir çember modelidir. Bardağın tabanı boş olmadığından daire modelidir. Madeni paranın da içi boş olmadığından daire modelidir.

Örnek Soru

Yukarıda verilen M merkezli çember ile ilgili olarak aşağıdakilerden hangisi veya hangileri doğrudur?

Cevap

Çemberin merkezinden geçen ve çemberin üzerinde bulunan iki noktayı birleştiren doğru parçası çemberin çapıdır. O halde, AB doğru parçası çemberin çapıdır. Çemberin merkezi ile üzerindeki herhangi bir noktayı birleştiren doğru parçası çemberin yarıçapıdır. O halde, |MC| = r’dir. Çemberin merkezi ile üzerindeki herhangi bir noktayı birleştiren doğru parçalarının uzunlukları birbirine eşittir. O halde |MD| = |MB|’dir.
Yanıt B

Örnek Soru

Berk’in söylediği cümleye göre defterine çizdiği şekil aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Cevap

Çizilen bir şeklin çember olabilmesi için seçilen bir noktadan eşit uzaklıktaki noktalardan oluşması gerekir.
D seçeneği seçilen O noktasından eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu bir şekil olduğu için çemberdir. A,B ve C seçeneklerinde ise seçilen O noktası etrafındaki noktalara eşit uzaklıkta olmadığından bu şekiller çember değildir.
Yanıt D

Örnek Soru

Aşağıda çizilen çemberlerin hangisi O merkezli ve yarıçapı 4 br olan çemberdir?

Cevap

Yarıçapı 4 br olan çemberi çizmek için noktalı kâğıt üzerinde çemberin merkezi olacak şekilde bir O noktası seçelim. Merkeze 4 br uzaklıkta olan noktaları işaretleyelim.

Daha sonra bu noktaları pergel yardımıyla birleştirelim.
Yanıt D

Örnek Soru

Yukarıda çizilen çemberde MP doğru paçası çemberin yarıçapı olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi veya hangileri doğrudur?

Cevap

Çemberin merkezinden çemberin üzerindeki herhangi bir noktayı birleştiren doğru parcasının çemberin yarıçapı  olduğunu biliyoruz. MP doğru parcası yarıçapı olduğuna göre, M noktası çemberin merkezidir. Çemberin merkezinden geçen ve çemberin
üzerinde bulunan iki noktayı birleştiren doğru parcasının da çap olduğunu biliyoruz. O halde, NL doğru parcası çemberin çapıdır. M noktası çemberin merkezi olduğu için KM doğru parçası çemberin yarıçapıdır. NL doğru parçası çemberin çap., MK doğru parçası. çemberin yarıçapı olduğundan uzunluklar. farklıdır. |NL| ‚ |MK|’dir.
Yanıt B

 Çemberin Düzlemde Ayırdığı Bölgeler

Yukarıda M merkezli çember ve bazı noktalar verilmiştir. Bu noktaları bulundukları bölgelere göre gruplandıralım. Çemberin dış bölgesindeki noktalar: C,F,G Çemberin iç bölgesindeki noktalar: P,R,M,S Çemberin üzerindeki noktalar: L, K’dir. Çemberin bulunduğu düzlem çemberin kendisiyle içindeki (iç bölgesi veya çemberin içi) ve dışındaki (dış bölgesi veya çemberin dışı) noktaların kümesinden oluşur.

E düzleminde O merkezli çemberin içinde üzerinde ve dışında olan noktaları inceleyelim. A ve B noktaları çemberin içindedir. Çemberin içinde bulunan bu noktaların çemberin merkezine olan uzaklıkları çemberin yarıçapından daha kısadır. O halde, |OA| < r, |OB| < r’dir. C ve K noktaları çemberin üzerindedir. Çemberin merkezi ile üzerindeki herhangi bir noktayı birleştiren doğru parçası çemberin yarıçapıdır. O halde, |OC| = r, |OK| = r’dir.

M ve P noktaları çemberin dışındadır. Çemberin dışında olan bu noktaların çemberin merkezine olan uzaklıkları çemberin yarıçapından daha uzundur. O halde, |OM| > r, |OP| > r’dir.

Örnek Soru

Yukarıdaki düzlemde O merkezli çember ve bazı noktalar verilmiştir.
Buna göre, aşağıdakilerden hangileri doğrudur?

Cevap

Çemberin içindeki noktalar E, D ve O noktalarıdır. Çemberin üzerindeki noktalar A, K ve C noktalarıdır. Çemberin dışındaki noktalar F, G, B ve H noktalarıdır.
Yanıt D

Örnek Soru

Yukarıda verilen nesnelerden hangisi veya hangileri daire modeline örnek olabilir?

Çember ve çemberin iç bölgesinin oluşturduğu alana daire diyoruz. Çember ise seçilen belirli bir noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktaların oluşturduğu içi boş şekildir.

Bu verilere göre madeni para ve kesilen yarım karpuz çember ve çemberin iç bölgesinin oluşturduğu alandan oluştuğu için daire modelidir.

Bilezik ise içi boş olduğu için çember modelidir.
Yanıt B

Örnek Soru

Ebru Öğretmen tahtaya çizdiği O merkezli çember ile ilgili öğrencilerinden yorum yapmaları istemiştir.

Buna göre, yapılan öğrenci yorumları ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Cevap

L ve M noktaları çemberin dışındadır. K noktası çemberin üzerinde olduğundan |OK| = r’dir.
P noktası çemberin içinde olduğundan |OP| < r’dir. O halde, |OK| > |OP|’dir. L noktası çemberin dışında olduğundan |OL| > r’dir.
Yanıt C

Örnek Soru

Yukarıda verilen vagonların üzerinde çemberler ve bazı noktalar verilmiştir.
Hem içinde hem dışında hem de üzerinde nokta bulunan çemberin çizili olduğu vagon lokomotife bağlanacağına göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

2 numaralı vagonda bulunan çember ve noktaları inceleyelim. A ve D noktaları çemberin dışındadır. B noktası çemberin üzerindedir. C noktası ise çemberin içindedir.
Yanıt B

Çember ile Doğru İlişkisi

Bir doğru ile bir çemberin ortak noktası olmayabilir. Yukarıda verilen O merkezli çember ile d doğrusunun hiç bir ortak noktası yoktur.

Bir doğru ile bir çemberin bir ortak noktası olabilir. (Bir doğru bir çemberi tek bir noktada kesebilir.) Yukarıda verilen d doğrusu O merkezli çemberi A noktasında kesmektir. Diğer bir ifade ile d doğrusu O merkezli çembere A noktasında teğettir. d doğrusunun çembere teğet olduğu A noktasında, d doğrusu ile çemberin merkezinden A noktasına çizilen yarıçap biribirine diktir.

Bir doğru ile bir çemberin iki ortak noktası olabilir. (Bir doğru bir çemberi iki farklı noktada kesebilir.) Yukarıda verilen d doğrusu O merkezli çemberi A ve B noktalarında kesmektedir.

Yukarıdaki şekilde k doğrusu O merkezli çemberi M ve N noktalarında kesmektedir. Bu çemberin M ve N noktaları arasında kalan parçasına çember yayı, çember parçası veya kısaca yay denir. M ve N noktaları arasında kalan çember parçası
MN şeklinde gösterilir. Çemberi iki noktada kesen k doğrusunun çember içinde kalan parçasına kiriş denir. [MN] kiriştir. şekildeki çemberi iki noktada kesen k doğrusuna kesen denir.

Örnek Soru

Yukarıdaki kirişleri inceleyelim. Her iki kiriş de O merkezli çemberde merkeze eşit uzaklıktadır. Merkeze eşit uzaklıkta olan kirişlerin uzunlukları eşittir. |AB| = |CD|’dir.

Yukarıda verilen kirişleri inceleyelim. Verilen çemberin içinde kalan [PR], [MN] ve [KL] birer kiriştir. Bir çemberde merkezden gecen kirişe çap denir. [KL] kirişi ayn. zamanda çaptır. Bir çember içerisindeki en buyuk kiriş çaptır. Kirişler merkezden uzaklaştıkça uzunlukları azalır. |OA| < |OB| olduğu için |PR| < |MN| < |KL|’dir. Çemberin merkezinden kirişlere çıkan dikmeler kirişleri iki eş parçaya ayırır. [OB] ^ [PR] ve [OA] ^ [MN] olduğu için |KO| = |OL| = 4 cm |MA| = |AN| = 3 cm |PB| = |BR| = 2 cm’ dir. Bir çemberde kirişin uzunluğu artarsa kirişin noktalar. aras.nda kalan yayların uzunlukları da artar. |KL| > |MN| > |PR| olduğu icin |ƒ¢KSL| > |ƒ¢MSN| > |ƒ¢PSR| olur.

Örnek Soru

Yukarıda verilen O merkezli çemberden geçen kirişleri inceleyelim.

[AB]«[CD]«[EF]«[GH] = {O} Görüldüğü gibi merkezden geçen kirişlerin sayısı ne kadar artarsa artsın kesişimleri hep O noktasını veriyor.

Yukarıdaki şekilde d1, d2 doğruları ve O merkezli çember verilmiştir.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

Cevap

AB kirişinin 2r olabilmesi için merkezden geçen kiriş olması gerekmektedir. O halde, |AB| < 2r olmalıdır.
Yanıt D

Örnek Soru

Yukarıdaki şekilde O merkezli çember ve çemberi kesen d doğrusu verilmiştir.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Cevap

K ve L noktalar arasında kalan yay
şeklinde gösterilir. KL kirişinin çap olabilmesi için merkezden geçmesi gerekmektedir. d doğrusu O merkezli çemberi K ve L noktalarında kesmektedir. O halde, d doğrusu çemberi iki noktada kesmiştir.
Yanıt B

Örnek Soru

Yukarıda verilen O merkezli çember ile ilgili aşağıdakilerden hangisi veya hangileri doğrudur?

Cevap

Örnek Soru

Yukarıda verilen O merkezli çemberde,
|AB| = 5 cm
|NM| = 7 cm
|KL| = 3 cm
olduğuna göre, bu kirişlerin noktaları arasında kalan yayların ölçülerinin büyükten küçüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevap

Bir çemberde kirişin uzunluğu artarsa kirişin noktaları arasında kalan yayların uzunlukları da artar.

Örnek Soru

Yukarıdaki O merkezli çemberde AB ve CD kirişlerinin merkeze olan uzaklıkları eşit olduğuna göre, |CD| kaç cm’dir?

Cevap

Merkeze eşit uzaklıkta olan kirişlerin uzunlukları birbirine eşittir.

|OL| = |OK| ise
|AB| = |CD|’dir.
x + 9 = 2x + 5
x + 9 – 5 = 2x + 5 – 5
x + 4 = 2x
x – x + 4 = 2x – x
x = 4’tür.
CD kirişinin uzunluğu
|CD| = 2x + 5 = 2.4 + 5 = 13 cm’dir.
Yanıt C

Çember veya Dairede Merkez Açı ve Çevre Açı ile Bu Açıların Gördüğü Yaylar

Merkez Açı

Köşesi merkez üzerinde olan açıya merkez açı denir.

Çevre Açı

Köşesi çember üzerinde olan açıya çevre açı denir.

Aynı Yayı Gören Açılar

Aynı yayı gören çevre açıların ölçüleri eşittir. Aynı yayı gören çevre açının ölçüsü merkez açının ölçüsünün yarısına eşittir.

Yukarıda verilen aynı yayı gören merkez açı ve çevre açıyı keserek çıkaralım.

Merkez açının açıortayını çizelim ve çevre açı ile karşılaştıralım.

Aynı yayı gören çevre açının ölçüsü merkez açının ölçüsünün yarısıdır.

Yukarıda verilen O merkezli çemberde KLP, KMP, KNP açıları çevre açılardır. Çevre açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısı olduğuna göre

Yukarıda görüldüğü gibi aynı yayı gören çevre açıların ölçüleri birbirine eşittir.

Major Yay ve Minör Yay

Yukarıda verilen O merkezli çemberde merkez açının kenarlarının çemberi veya daireyi kestiği noktaların arasında kalan yaylardan merkez açının gördüğü ABC yayına minör (küçük) çember yayı, ADC yayına ise majör (büyük) çember yayı denir.
Herhangi bir çemberde merkez açının ölçüsü 0° ile 180°, çember yayının ölçüsü ise 0° ile 360° arasındadır.

Cevap

Köşesi çemberin üzerinde olan açılara çevre açı denir.
Buna göre, BAC açısının köşesi çember üzerinde olduğundan çevre açıdır.
Yanıt C

Örnek Soru

Aslı Öğretmen tahtaya çizdiği O merkezli çember hakkında öğrencilerinden yorumda bulunmalarını istemiştir.

Yapılan öğrenci yorumlarından hangisi veya hangileri doğrudur?

Cevap

Bir çemberde merkez açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşittir. O halde, Nil’in yorumu doğrudur.

Bir çemberde merkez açının gördüğü yaya
minör yay denir. Merkez açının gördüğü
yay ACB yayıdır.
Nur’un yorumu yanlıştır.
Bir çemberde minör ve majör yayların ölçüleri
toplamı 360°’dir.
O halde,
minör yayı = 
majör yayı = 

Örnek Soru

Yukarıda verilen O merkezli çemberde   olduğuna göre, bu açının gördüğü ACB yayının ölçüsünün a cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevap

Bir çemberde merkez açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşittir. O halde, AOB merkez açısının ölçüsü ACB yayının ölçüsüne eşittir.

Örnek Soru

Yukarıdaki O merkezli çember ile ilgili aşağıdaki tablo doldurulacaktır.

Tablodaki ifadeler doğru ise sembolü yanlış ise sembolü ile değerlendirilecektir.

Buna göre, aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi doğrudur?

Cevap

Örnek Soru

Yukarıda verilen O merkezli çemberdeki çevre açılar ve bu çevre açıların gördükleri yaylar aşağıdakilerden hangisinde yanlış verilmiştir?

Cevap

DAE çevre açısının gördüğü yay DE yayıdır. EBF çevre açısının gördüğü yay EF yayıdır. ED yayı değildir. DCE çevre açısının gördüğü yay DE yayıdır. ADC çevre açısının gördüğü yay ABC yayıdır.
Yanıt B

Örnek Soru

Yukarıda verilen çemberdeolduğuna göre, KLM açısının ölçüsünün b cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevap

Bir çemberde çevre açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir. O halde, KLM çevre açısının ölçüsü KM yayının ölçüsünün yarısına eşittir.

Örnek Soru

Yukarıdaki O merkezli çemberde 

Cevap

Örnek Soru

Yukarıda verilen O merkezli dairedeki merkez açıların gördükleri yaylardan hangisi yanlış verilmiştir?

Cevap

Örnek Soru

Yukarıdaki O merkezli dairede   olduğuna göre, s(A^OB)’nin değerinin y cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevap

Örnek Soru

 olduğuna göre  nin x cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevap

Örnek Soru

Yukarıdaki O merkezli çemberde  olduğuna göre nin a cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevap

Örnek Soru

Şekilde O noktası çemberin merkezidir.
Aşağıdaki açılardan hangisinin ölçüsü diğerlerinden farklıdır?

Cevap

Örnek Soru

Yukarıdaki O merkezli dairede 

Cevap