Öteleme Hareketi

Bir nesnenin bir yerden başka bir yere belirli bir doğrultu ve yönde kayma hareketine öteleme denir.

Örnekler

Uyarı

Öteleme hareketi sonucu nesnenin ya da şeklin, duruşu, boyutu ve birimi değişmez.

 Koordinat Düzleminde Öteleme Hareketi

Koordinat düzleminde bir doğruya göre öteleme yapılırken bütün noktalar x ve y eksenleri boyunca belirtilen yönde ve belirtilen birim kadar paralel olarak ötelenir.

Örnek 

Yukarıdaki koordinat düzleminde çizilen üçgenin üzerindeki A, B ve C noktalarının öteleme hareketlerini inceleyelim:

I. öteleme sonucunda, şekil x eksenine paralel olarak 4 birim sağa ötelenmiştir.
II. öteleme sonucunda, şekil önce y eksenine paralel olarak 5 birim aşağı, sonra x eksenine paralel olarak 1 birim sola ötelenmiştir.

Örnek Soru

Yukarıda verilen şeklin koordinat ekseninde x eksenine paralel 2 birim sola ve y eksenine paralel 4 birim aşağıya ötelenmesiyle oluşan şekil aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm

Yanıt C

Örnek Soru

Yukarıdaki şekilde bisikletli çocuğun x eksenine paralel 4 birim sola ve y eksenine paralel 1 birim yukarıya ötelenmesiyle oluşan şekil aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm

Yanıt B

 Yansıma Hareketi

Eksen olarak alınan bir doğrudan, benzer noktaları karşılıklı olarak eksene aynı uzaklıkta bulunan iki benzer parçanın birbirine göre olan durumuna yansıma denir. Yansıma ayrıca “simetri” olarak da adlandırılır.

Koordinat Düzleminde Yansıma Hareketi

Koordinat düzleminde bir geometrik şekil; x eksenine göre yansıtıldığında şekil üzerindeki bir A(x,y) noktasının görüntüsü
A'(x, –y),y eksenine göre yansıtıldığında şekil üzerindeki herhangi bir A(x, y) noktasının görüntüsü A'(–x, y) olur.

Örnek 

Yukarıdaki koordinat düzleminde çizilen şekil önce y eksenine göre daha sonra x eksenine göre yansıtılmıştır.

Örnek Soru

Yukarıdaki şekilde verilen hamburger ve kolanın d doğrusuna göre, yansımaları aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

Çözüm

Verilen şeklin d doğrusuna göre yansıması aşağıdaki gibidir.

Yanıt B

Örnek Soru

Yukarıdaki şekilde verilen çanta ve cüzdanın k doğrusuna göre yansımaları aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

Çözüm

Verilen şeklin k doğrusuna göre yansıması aşağıdaki gibidir.

Yanıt C

Örnek Soru

Dört arkadaş bir kavşak etrafında oyun oynuyorlar.Oyunda yer değiştirirken uyulması gereken kural hayali olarak düşündükleri koordinat ekseninde bulundukları noktaların x eksenine, y eksenine veya orijine göre yansımasının olduğu noktaya gitmektir.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Ali 3. bölgeye giderse koordinatları (–2, –3) olur.         B) Sena 2. bölgeye giderse koordinatları (–5, 3) olur.
C) Enes 1. bölgeye giderse koordinatları (–6, –5) olur.     D) Esma 4. bölgeye giderse koordinatları (–5, –4) olur.

Çözüm

A) Ali 1. bölgeden 3. bölgeye gidecektir.Ali’nin bulunduğu noktanın orijine göre yansıması olan nokta (–3, –2) olduğundan Ali
(–3, –2) noktasına gidecektir.

B) Sena 3. bölgeden 2. bölgeye gidecektir.Sena’nın bulunduğu noktanın x eksenine göre yansıması olan nokta (–5, 3) olduğundan
Sena (–5, 3) noktasına gidecektir.

C) Enes 4. bölgeden 1. bölgeye gidecektir.Enes’in bulunduğu noktanın x eksenine göre yansıması olan nokta (6, 5) olduğundan
Enes (6,5) noktasına gidecektir.

D) Esma 2. bölgeden 4. bölgeye gidecektir.Esma’nın bulunduğu noktanın orijine göre yansıması olan nokta (5,–4) olduğundan
Esma (5, –4) noktasına gidecektir.

Yanıt B

Örnek Soru

Yukarıdaki şekilde aynanın önündeki tavuğun aynadaki yansımasını gösteren resim aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm

Tavuğun aynadaki yansıması aşağıdaki gibidir.

Yanıt B

Dönme Hareketi

Verilen bir şeklin bir nokta etrafında sağa veya sola çevrilmesi dönme hareketidir.

Örnek

Koordinat Düzleminde Dönme Hareketi

Koordinat düzleminde bir geometrik şekil, orijin etrafında saat yönünde 90° döndürüldüğünde şeklin üzerindeki bir A(x, y) noktasının görüntüsü A'(y, –x) olur. Şekil orijin etrafında saat yönünde 180° döndürüldüğünde şeklin üzerindeki bir A(x, y) noktasının görüntüsü A'(–x, –y) olur.

Şekil orijin etrafında saat yönünde 270° döndürüldüğünde şeklin üzerindeki bir A(x,y) noktasının görüntüsü A'(–y, x) olur.
Şekli orijin etrafında 360° döndürdüğümüz de şeklin üzerindeki bir A(x, y) noktası değişmez.

ABCD dörtgenini orijin etrafında saat yönünde 90° döndürdüğümüzde I nolu şekil oluşur. ABCD dörtgenini orijin etrafında saat yönünde 180° döndürdüğümüzde II nolu şekil oluşur.Dönme hareketinin yaptırıldığı şekil üzerinde herhangi bir noktanın orijine olan uzaklığı ile şeklin görüntüsünde bu noktaya karşılık gelen noktanın orijine olan uzaklığı eşittir.

 Ötelemeli Yansıma Hareketi

Bir şekle belli doğrultularda hem öteleme hem yansıma hareketi yapılmasıdır.

Örnek 

Yukarıdaki şekil önce aşağıya ötelenmiş sonra d doğrusuna göre yansıma hareketi yapılmıştır.

Uyarı

Bir şeklin, bir doğruya göre yansıtılmasından sonra ötelenmesi ile ötelenmesinden sonra yansıtılması altındaki görüntüleri aynıdır.
Ötelemeli yansımada hiçbir nokta ve yansıma doğrusu dışındaki hiçbir doğru sabit kalmaz.

Örnek

Aşağıda verilen şekillerde yapılan dönüşüm hareketlerini inceleyelim.

Örnek Soru

Yukarıdaki şeklin y eksenine paralel 3 birim aşağıya ötelenip y eksenine göre yansıması sonucu oluşan şeklin görüntüsünü bulalım.

Çözüm

Önce şekli y eksenine paralel 3 birim aşağıya öteleyelim. Şekil öteleme hareketi sonucu koordinat düzleminde III. bölgeye geçer.

Daha sonra y eksenine göre yansıması alınır.Bir şeklin yansıması alınırken noktaların simetri eksenine eşit uzaklıkta olduğuna dikkat edelim.

Örnek Soru

Yukarıdaki şekilde verilen kartalın kanatlarında ve başında bulunan B, J ve K noktalarının koordinatları
B (–5, 2), J (–1, 2) ve K (–1, 4)’tür.

Bu kartal orijin etrafında saat yönünde 90° dönerse oluşan B’, J’ ve K’ noktalarının koordinatları aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiş olur?

A) B'(2, –5), J'(–1, 2) ve K'(–1, 4)    B) B'(2, –5), J'(1, –2) ve K’ (1, –4)   C) B'(2, 5), J'(2, 1) ve K’ (4, 1)  D) B'(5, 2), J'(2, 1) ve K’ (4, 1)

Çözüm

Kartal orijin etrafında saat yönünde 90° dönerse B'(2, 5) , J'(2, 1) , K'(4, 1) olur.

Yanıt C

Örnek Soru

1. ve 2. şekil sırayla pembe noktaların olduğu yerlerden ok yönünde birleştiriliyor. Oluşan 3.şekil noktalı doğruların hizasından kesiliyor. Kesilen kısımlar atıldığında kalan şekil açılıyor.Buna göre, katlı olan şekil açıldığında hangi şekil elde edilmiş olur?

Çözüm

3. şeklin kesilen kısımları atılıp açıldığında aşağıdaki şekil oluşur.

Yanıt A

Örnek Soru

I nolu şekle hangi dönüşüm hareketleri yapılırsa II nolu şekil elde edilir?
A) x eksenine göre yansıma ve 2 birim sola öteleme      B) x eksenine göre yansıma ve 3 birim sola öteleme
C) y eksenine göre yansıma ve 2 birim sağa öteleme     D) y eksenine göre yansıma ve 3 birim sağa öteleme

Çözüm

I nolu şekil önce x eksenine göre yansıtılıp sonra 2 birim sola ötelenirse II nolu şekil elde edilir.
Yanıt A

Örnek Soru

Yukarıdaki koordinat düzleminde verilen K,L, M, N şekillerine göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) L’nin y eksenine göre yansıması K’dir.
B) K’nin orijin etrafında ve saat yönünde 180° döndürülmesiyle M elde edilmiştir.
C) M’nin x ekseni boyunca 5 birim sola ötelenmesiyle N elde edilmiştir.
D) K’nin x eksenine göre yansıması N’dir.

2009 SBS

Çözüm

K’nin x eksenine göre yansıması aşağıdaki gibi olur.

O halde, D şıkkı yanlıştır.

Yanıt D

8.Sınıf  Dönüşüm Geometrisi Etkin Katılım

1. Aşağıda verilen üçgenlere istenilen ötelemeleri yapınız.

 2. Aşağıda verilen şekillere istenilen eksenlere göre yansımasını yapınız.