Evrensel Küme, Alt Küme ve Boş Küme

Evrensel Küme
Belli bir alandaki varlıkların tümünü içerdiği varsayılan kümeye evrensel küme denir. E sembolü ile gösterilir.

Örnek
Okuldaki öğrencilerin en sevdikleri meyveler ile ilgili araştırma yapan bir öğretmen için okuldaki tüm öğrenciler kümesi evrensel kümedir.

Boş Küme
Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir. sembolü ile gösterilir.

Örnek
6 ile 8 arasındaki çift doğal sayılar kümesi boş kümedir.
Uçan filler kümesi boş kümedir.

Alt Küme
Bir A kümesinin her bir elemanı B kümesininde elemanı ise A kümesi B kümesinin alt kümesi denir. şeklinde gösterilir ve “A kümesi B kümesinin alt kümesidir” diye okunur.
Örnek
A = {a, e, ı, i, o, ö, u, ü}
B = {a, e, ı, i}
C = {i, ö, ü}
D = {a, e, ı}
kümelerinden B, C ve D kümelerinin tüm elemanları A kümesinde de olduğundan B, C ve D kümeleri A kümesinin alt kümeleridir.

D kümesindeki tüm elemanlar B kümesinde de olduğundan D kümesi B kümesinin alt kümesidir.

Örnek Soru
A = {s, b} kümesinin alt kümelerini yazalım.
Çözüm
{}, {s}, {b}, {s,b}’dir.

Örnek Soru
B = {1, 3, 5} kümesinin alt kümelerini yazalım.
Çözüm
{ }, {1}, {3}, {5}, {1, 3}, {1, 5}, {3, 5} {1, 3, 5}’tir.

Örnek Soru

Yukarıda Venn şeması ile gösterilen B, H ve R kümelerinin arasında BHR ba¤›nt›s›n›n olmas› için H ve R kümelerine yazılması gereken elemanlar aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

Çözüm
(YANIT B)

Örnek Soru

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

Çözüm
Haftanın y ile başlayan günü olmadığından bu ifade boş küme belirtir.
3 ile 4 arasında doğal sayı olmadığından bu ifade boş küme belirtir.
10 cm boyunda insanlar olmadığından bu ifade boş küme belirtir.
1’den küçük doğal sayı 0’dır. O halde, bu ifade boş küme belirtmez.
(YANIT D)

Örnek Soru
A = {elma, muz, armut}
B = {su, çay, meyve suyu}
C = {İstanbul, Ankara, Sivas}

Yukarıda verilen kümeler için yazılacak evrensel kümeler aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Çözüm
A = {elma, muz, armut} kümesi için evrensel küme {meyveler} ve {yiyecekler} olabilir.
B = {su, çay, meyve suyu} kümesi için evrensel küme {içecekler} olabilir.
C = {‹stanbul, Ankara, Sivas} kümesi için evrensel küme {Türkiye’nin illeri} olabilir.
(YANIT A)

Örnek Soru
Aşağıdaki resimlerden hangisi boş kümeye örnek gösterilebilir?

Çözüm
Havuzda insanlar oldu¤u için boş kümeye örnek verilemez.
Sınıfta öğrenciler olduğu için boş kümeye örnek verilemez.
Konser salonunda dinleyiciler olduğu için boş kümeye örnek verilemez.
Basket sahasında oynayanlar olmadığından boş kümeye örnek verilebilir.
(YANIT D)

Örnek Soru

Efe yukarıdaki hayvanlar arasından 2 tanesini seçerek evde besleyecektir.
Buna göre, bu hayvanlar arasından Efe’nin evde besleyebileceği kaç farklı 2 elemanlı küme oluşturulabilir?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9
Çözüm
Hayvanlardan oluşturabileceğimiz 2 elemanlı kümeler:

olmak üzere 6 tanedir. (YANIT A)